• 19 November 2013
    • Другие предметы
    • Автор: алексей2002уул30

    Нужно срочно! сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника равна 8. Докажите, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из вершин этого четырёхугольника не меньше 2


    • 19 November 2013
    • Ответ оставил: Dubovskaya63

    Пусть М - любая точка плоскости. Пусть каждое из расстояний от точки М до вершин выпуклого четырехугольника меньше 2, тогда
    АМ+ВМ+СМ+DМ<2+2+2+2=8 (*)- сумма расстояний от точки М до вершин выпуклого четырехугольника,

    по неравенству треугольника имеем
    AM+BM>AB
    AM+DM>AD
    BM+CM<BC
    CM+DM>CD
    сложив получим что
    2(AM+BM+CM+DM)>AB+BC+CD+AD
    откуда учитывая (*)
    получаем AB+BC+CD+AD<8

    аналогично
    AB+AD>BD
    BC+CD>BD
    AB+BC>AC
    AD+CD>AC
    или сложив
    2(AB+BC+CD+AD)>2*(BD+AC)
    AC+BC+CD+AD>BD+AC
    получается что
    8>AC+BC+CD+AD>BD+AC=8 противоречие/ Откуда получаем что уловие задачи истинно

    Оцените ответ

    • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?
    Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету...

Последние и похожие вопросы